题目内容
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，则△ABC的面积为（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\frac{3}{2}$ | C． | 2$\sqrt{2}$ | D． | 4$\sqrt{2}$ |
分析 由条件bcosC=3acosB-ccosB，利用正弦定理求得cosB的值，可得sinB的值；再根据 $\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2利用两个向量的数量积的定义求得ac的值，可得△ABC的面积$\frac{1}{2}$ac•sinB 的值．
解答 解：△ABC中，∵bcosC=3acosB-ccosB，利用正弦定理可得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
∴sin（B+C）=3sinAcosB，即sinA=3sinAcosB，求得cosB=$\frac{1}{3}$，∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
再根据 $\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，可得c•a•cosB=2，∴ac=6，∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ac•sinB=2$\sqrt{2}$，
故选：C．
点评 本题主要考查正弦定理，两个向量的数量积的定义，属于基础题．
练习册系列答案
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14．
一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱外接球的表面积为（ ）
一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱外接球的表面积为（ ）| A． | 16π | B． | 9π | C． | 4π | D． | π |
11．抛物线y2=4x，直线l经过该抛物线的焦点F与抛物线交于A、B两点（A点在第一象限），且$\overrightarrow{BA}$=4$\overrightarrow{BF}$，则三角形AOB（O为坐标原点）的面积为（ ）
| A． | $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\frac{8\sqrt{2}}{3}$ | C． | $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ | D． | $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ |
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| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$ |