题目内容
（2006•广州一模）已知数列{xn}满足下列条件：x1=a，x2=b，xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0（n∈N*且n≥2），其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数．
（Ⅰ）当λ＞0时，证明：xn+1＞xn（n∈N*）；
（Ⅱ）当|λ|＜1时，求
xn．
（Ⅰ）当λ＞0时，证明：xn+1＞xn（n∈N*）；
（Ⅱ）当|λ|＜1时，求
| lim | n→∞ |
分析：（Ⅰ）由题设得xn+1-xn=λ（xn-xn-1），由x2-x1=b-a＞0，知：数列{xn+1-xn}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，由此能够证明xn+1＞xn（n∈N*）．
（Ⅱ）由xn+1-λxn=xn-λxn-1=…=x2-λx1=b-λa及xn+1＞xn（n∈N*），知xn=
，由|λ|＜1，知
λn-1=0，由此能求出
xn．
（Ⅱ）由xn+1-λxn=xn-λxn-1=…=x2-λx1=b-λa及xn+1＞xn（n∈N*），知xn=
| b-λa-(b-a)•λn-1 |
| 1-λ |
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
解答：解：（Ⅰ）证明：∵xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0（n∈N*且n≥2），λ为非零常数，
∴xn+1-xn=λ（xn-xn-1），
∵x1=a，x2=b，其中a、b为常数，且a＜b，
∴x2-x1=b-a＞0，
∴数列{xn+1-xn}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，
故xn+1-xn=(b-a)•λn-1，
∵λ＞0，
∴xn+1-xn＞0，
即xn+1＞xn（n∈N*）．
（Ⅱ）∵x1=a，x2=b，xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0（n∈N*且n≥2），
其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数．
∴xn+1-λxn=xn-λxn-1=…=x2-λx1=b-λa，
即xn+1-λxn=b-λa，
∴λxn=xn+1-（b-λa），①
∵xn+1＞xn（n∈N*），xn+1-xn=(b-a)•λn-1，
∴xn=xn+1-(b-a)•λn-1，②
②-①，得（1-λ）xn=b-λa-（b-a）•λn-1，
∴xn=
，
∵|λ|＜1，
∴
λn-1=0，
∴
xn=
=
．
∴xn+1-xn=λ（xn-xn-1），
∵x1=a，x2=b，其中a、b为常数，且a＜b，
∴x2-x1=b-a＞0，
∴数列{xn+1-xn}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，
故xn+1-xn=(b-a)•λn-1，
∵λ＞0，
∴xn+1-xn＞0，
即xn+1＞xn（n∈N*）．
（Ⅱ）∵x1=a，x2=b，xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0（n∈N*且n≥2），
其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数．
∴xn+1-λxn=xn-λxn-1=…=x2-λx1=b-λa，
即xn+1-λxn=b-λa，
∴λxn=xn+1-（b-λa），①
∵xn+1＞xn（n∈N*），xn+1-xn=(b-a)•λn-1，
∴xn=xn+1-(b-a)•λn-1，②
②-①，得（1-λ）xn=b-λa-（b-a）•λn-1，
∴xn=
| b-λa-(b-a)•λn-1 |
| 1-λ |
∵|λ|＜1，
∴
| lim |
| n→∞ |
∴
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
| b-λa-(b-a)•λn-1 |
| 1-λ |
| b-λa |
| 1-λ |
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意极限的灵活运用．
练习册系列答案
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