题目内容
已知函数.
(1)试判断函数的单调性;
(2)设,求
在
上的最大值;
(3)试证明:对任意,不等式
都成立(其中
是自然对数的底数).
(1)函数在
上单调递增,在
上单调递减;
(2)在
上的最大值为
;
(3) 证明过程详见试题解析.
解析试题分析:(1)先对函数求导,令导函数为0,即可求得函数在
上单调递增,在
上单调递减. (2)结合函数的单调性,分
时,
时,
三种情况进行讨论,即可求
在
上的最大值;(3) 把证明过程转化为恒成立问题即可.
试题解析:(1)解:(1)函数的定义域是
.由已知
.
令,得
.
因为当时,
;当
时,
.
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)由(1)可知当,即
时,
在
上单调递增,所以
.
当时,
在
上单调递减,所以
.
当,即
时,
.
综上所述,
(3)由(1)知当时
.所以在
时恒有
,即
,当且仅当
时等号成立.因此对任意
恒有
.因为
,
,所以
,即
.因此对任意
,不等式
.
考点:导函数的应用、最值问题、恒成立问题.

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