题目内容
如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=
，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M为PB的中点，试求异面直线AN和BC所成的角的余弦值．
（Ⅲ）试问：在侧棱PB上是否存在一点Q，使截面AQC把几何体分成的两部分的体积之比VPDCQ：VQACB=7：2？若存在，请求PQ的长；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）由CD⊥AD和平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，根据面面垂直的性质定理证明；
（Ⅱ）如图，把四棱锥P-ABCD补成一个长方体，则有AM∥DF，DG∥CB，可得到∠FDG就是异面直线AM和BC所成的角，再在△GBE中，求得GE，在△GEF中，求得FG，在△FDG中，求得DG，利用由余弦定理求解．
（Ⅲ）假设在侧棱PB上存在一点Q，满足条件VPDCQA：VQACB=7：2，转化为
，再由相似性求解．
解答：
证明：（Ⅰ）依题意知PA=1，PD=
∴AD⊥AB，
又CD∥AB
∴CD⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
CD⊥平面PAD（4分）
（Ⅱ）如图，把四棱锥P-ABCD补成一个长方体，
其中C，G分别为所在棱的中点，则易得AM∥DF，DG∥CB，
所以∠FDG就是异面直线AM和BC所成的角（6分）
连接FG，在△GBE中，GE=
在△GEF中，FG=
在△FDG中，DG=GE=
，
由余弦定理可得：
cos∠FDG=
（8分）
所以异面直线AM和BC所成的角的余弦值为
．（9分）
（Ⅲ）解：假设在侧棱PB上存在一点Q，满足条件
∵VPDCQA：VQACB=7：2
∴
（11分）
又由∠PAD=∠DAB=90°知PA⊥平面ABCD，又
，S△ABC=1．
设Q到平面ABCD的距离为h，则
∴
（12分）
又∵
，∴
故PQ=
（14分）
点评：本题主要考查面面垂直的性质定理，用余弦定理求解异面直线所成角和通过相似性来求解线段的长度等，培养学生转化化归的能力．
（Ⅱ）如图，把四棱锥P-ABCD补成一个长方体，则有AM∥DF，DG∥CB，可得到∠FDG就是异面直线AM和BC所成的角，再在△GBE中，求得GE，在△GEF中，求得FG，在△FDG中，求得DG，利用由余弦定理求解．
（Ⅲ）假设在侧棱PB上存在一点Q，满足条件VPDCQA：VQACB=7：2，转化为
，再由相似性求解．解答：
证明：（Ⅰ）依题意知PA=1，PD=∴AD⊥AB，
又CD∥AB
∴CD⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
CD⊥平面PAD（4分）
（Ⅱ）如图，把四棱锥P-ABCD补成一个长方体，
其中C，G分别为所在棱的中点，则易得AM∥DF，DG∥CB，
所以∠FDG就是异面直线AM和BC所成的角（6分）
连接FG，在△GBE中，GE=
在△GEF中，FG=
在△FDG中，DG=GE=
，由余弦定理可得：
cos∠FDG=
（8分）所以异面直线AM和BC所成的角的余弦值为
．（9分）（Ⅲ）解：假设在侧棱PB上存在一点Q，满足条件
∵VPDCQA：VQACB=7：2
∴
（11分）又由∠PAD=∠DAB=90°知PA⊥平面ABCD，又
，S△ABC=1．设Q到平面ABCD的距离为h，则
∴
（12分）又∵
，∴故PQ=
（14分）点评：本题主要考查面面垂直的性质定理，用余弦定理求解异面直线所成角和通过相似性来求解线段的长度等，培养学生转化化归的能力．
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津桥教育计算小状元系列答案
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