Question

如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=

2

，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M是侧棱PB中点，截面AMC把几何体分成的两部分，求这两部分的体积之比．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意通过计算，以及平面PAD⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理，证明CD⊥平面PAD．
（Ⅱ）设N是AB的中点，连接MN，依题意，证明PA⊥面ABCD，MN⊥面ABCD，计算VMABC=

1

3

MN•S△ABC与VPABCD=

1

3

PA•SABCD，得到V_PADCM=V_PADCB-V_MACB，求出V_PADCM：V_MACB=两部分体积比．

解答：证明：（Ⅰ）依题意知PA=1，PD=

2

∴AD⊥AB，
又CD∥AB∴CD⊥AD（3分）
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
由面面垂直的性质定理知，CD⊥平面PAD（6分）
（Ⅱ）解：设N是AB的中点，连接MN，依题意，PA⊥AD，PA⊥AB，
所以，PA⊥面ABCD，因为MN∥PA，
所以MN⊥面ABCD．（8分）VMABC=

1

3

MN•S△ABC=

1

3

•

1

2

•

1

2

•

2

•

2

=

1

6

（10分）VPABCD=

1

3

PA•SABCD=

1

3

PA•

CD+AB

2

AD=

1

3

•1•

1+2

2

•1=

1

2

（11分）
所以，VPADCM=VPADCB-VMACB=

1

2

-

1

6

=

1

3

（12分）
V_PADCM：V_MACB=两部分体积比为2：1（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．