题目内容
(本小题满分12分)已知椭圆C:(
.
(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为,求椭圆的标准方程;
(2)在(1)的条件下,设过定点的直线
与椭圆C交于不同的两点
,且
为锐角(其中
为坐标原点),求直线
的斜率k的取值范围;
(3)如图,过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆
(
)相交于
四点,设原点
到四边形
一边的距离为
,试求
时
满足的条件.
(1)(2)
(3)
解析试题分析:(1) ……2分
(2)显然直线x=0不满足题设条件,可设直线l:
由得
.
,
……4分
(1)
又
由 ∴
所以
(2)由(1)(2)得
。……6分
(3)由椭圆的对称性可知PQSR是菱形,原点O到各边的距离相等。
当P在y轴上,Q在x轴上时,直线PQ的方程为,由d=1得
,……
当P不在y轴上时,设直线PS的斜率为k,,则直线RQ的斜率为
,
由,得
……(1),同理
……(2) ……8分
在Rt△OPQ中,由,即
所以,化简得
,
,即
。
综上,d=1时a,b满足条件……12分
考点:椭圆方程及性质,直线与椭圆相交问题
点评:直线与椭圆相交联立方程利用韦达定理设而不求是常用的思路,第二问中将夹角是锐角时转化为向量数量积小于零,从而可用点的坐标表示,

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