题目内容

(12分)已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间,并求出f(x)在区间[-2,4]上的最大值.

解: (1)f′(x)=x2-2ax+a2-1,
∵(1,f(1))在x+y-3=0上,∴f(1)=2,
∵(1,2)在y=f(x)上,∴2=-a+a2-1+b,
又f′(1)=-1,∴a2-2a+1=0,
解得a=1,b.
(2)∵f(x)=x3-x2,∴f′(x)=x2-2x,
由f′(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点,所以有

所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2)
∵f(0)=,f(2)=,f(-2)=-4,f(4)=8,
∴在区间[-2,4]上的最大值为8.

解析

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