题目内容

如图，在棱长为2a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱A₁B₁、B₁C₁的中点，则点C到面BMN的距离为________．

$\text{[math]}$
分析：欲求点C到面BMN的距离，根据三棱锥C-MNB的体积公式可求得．
解答：设点C到面BMN的距离d，根据三棱锥的体积公式得：
V_C-MNB=V_M-NBC
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
∴h= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算以及空间想象能力、等价转化的能力，属于基础题．

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选做题：（甲、乙两题任选一题作答）
甲、如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为

a．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，并写出点A、B、A₁、C₁的坐标；
（Ⅱ）求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角

乙、如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0＜a＜

)．
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（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；
（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小．

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