Question

已知f（x）=x³+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；
（2）设直线3x+y+1=0是函数y=f（x）图象的一条切线，求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）原问题转化为（3-x）a+3x²-5＜0在a∈[-1，1]恒成立，构造函数f（a）=（3-x）a+3x²-5，原不等式等价于f（a）＜0在a∈[-1，1]恒成立，从而只需要

f(1)＞0 f(-1)＞0

即可，进而解不等式即可．
（2）设切点为（x₁，y₁），利用导数的几何意义求得a值，再求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．

解答：解：f'（x）=3x²+3a，g（x）=3x²-ax+（3a-5），
（1）由g（x）＜0得3x²-ax+（3a-5）＜0，即（3-x）a+3x²-5＜0在a∈[-1，1]恒成立，
则

(3-x)×(-1)+3x2-5＜0 (3-x)×1+3x2-5＜0

，即

3x2+x-8＜0 3x2-x-2＜0

，即

- 1+ 97 6 ＜x＜- 1- 97 6 - 2 3 ＜x＜1

，
所以实数x的取值范围是(-

2

3

，1)．----（6分）
（2）设切点为（x₁，y₁），则

y1=x13+3ax1-1 3x1+y1+1=0

，得到x₁³+3ax₁-1=-3x₁-1，
得到x₁=0或x₁²=-3a-3．
又切线的斜率k=f'（x₁）=-3，即3x₁²+3a=-3．
①若x₁=0，则a=-1
②若x₁²=-3a-3，则3×（-3a-3）+3a=-3，则a=-1．
综上所述，a=-1，所以f（x）=x³-3x-1，则f'（x）=3x²-3．
若f'（x）＞0，则x＜-1或x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）．
若f'（x）＜0，则-1＜x＜1，即f（x）的单调递减区间为（-1，1）．----（12分）

点评：本题以不等式为载体，恒成立问题，考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．