题目内容
已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数） 在[-3，3]上有最小值3，求f（x）在[-3，3]上的最大值？
分析：要求f（x）的最大值，先求出函数的导函数，令其等于0求出极值点，在[-3，3]上求得函数的极值、端点处函数值，然后比较取最大值即可．
解答：解：f′（x）=3x2+6x，
令f′（x）=0，得3x（x+2）=0⇒x=0，x=-2．
当0≤x≤3，或-3≤x≤-2时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；
当-2＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
则最小值为f（-3）或f（0），
而f（-3）=（-3）3+3×（-3）2+a=a，f（0）=a，
又最小值为3，∴a=3，
∴f（x）=x3+3x2+3，其最大值为f（-2）或f（3），
∵f（-2）=（-2）3+3×（-2）2+3=7，f（3）=33+3×32+3=57，
故f（x）在[-3，3]上的最大值为57．
令f′（x）=0，得3x（x+2）=0⇒x=0，x=-2．
当0≤x≤3，或-3≤x≤-2时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；
当-2＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
则最小值为f（-3）或f（0），
而f（-3）=（-3）3+3×（-3）2+a=a，f（0）=a，
又最小值为3，∴a=3，
∴f（x）=x3+3x2+3，其最大值为f（-2）或f（3），
∵f（-2）=（-2）3+3×（-2）2+3=7，f（3）=33+3×32+3=57，
故f（x）在[-3，3]上的最大值为57．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查学生分析问题解决问题的能力．
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