题目内容

7.已知函数g(x)=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+1}-3,-1<x≤0\\{x^2}-3x+2,0<x≤1\end{array}$,若方程g(x)-mx-m=0有且仅有两个不等的实根,则实数m的取值范围是$m∈(-\frac{9}{4},-2]∪[0,2)$.

分析 g(x)-mx-m=0可化为g(x)=m(x+1),从而化为函数y=g(x)与y=m(x+1)的图象有两个不同的交点;再讨论以确定实数m的取值范围.

解答 解:由g(x)-mx-m=0得g(x)=m(x+1),
原方程有两个相异的实根等价于两函数y=g(x)与y=m(x+1)的图象有两个不同的交点.
当m>0时,易知临界位置为y=m(x+1)过点(0,2)和(1,0),
分别求出这两个位置的斜率k1=2和k2=0,
由图可知此时m∈[0,2);
当m<0时,设过点(-1,0)函数g(x)=$\frac{1}{x+1}$-3,x∈(-1,0]的图象作切线的切点为(x0,y0),
则由函数的导数为g′(x)=-$\frac{1}{{(x+1)}^{2}}$得:
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{{{(x}_{0}+1)}^{2}}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}}\\{{y}_{0}=\frac{1}{{x}_{0}+1}-3}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{1}{3}}\\{{y}_{0}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
得切线的斜率为k1=-$\frac{9}{4}$,而过点(-1,0),(0,-2)的斜率为k1=-2,
故可知m∈(-$\frac{9}{4}$,-2],
则m∈(-$\frac{9}{4}$,-2]∪[0,2).
故答案为:$m∈(-\frac{9}{4},-2]∪[0,2)$.

点评 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用,属于中档题.

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