题目内容
(满分16分)已知定义域为的函数同时满足以下三个条件时,称为“友谊函数”,
[1] 对任意的,总有; [2] ;
[3] 若,,且,则有成立。
请解答下列各题:
(1)若已知为“友谊函数”,求的值;
(2)函数在区间上是否为“友谊函数”?并给出理由.
(3)已知为“友谊函数”,假定存在,使得且,求证:.
解析:(1)取得,又由,得
(2)显然在上满足[1] ;[2] .若,,且,则有
故满足条件[1]、[2]、[3],所以为友谊函数.
(3)由 [3]知任给其中,且有,不妨设
则必有:所以:
所以:.依题意必有,
下面用反证法证明:假设,则有或
(1) 若,则,这与矛盾;
(2) 若,则,这与矛盾;
故由上述(1)、(2)证明知假设不成立,则必有,证毕.
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