题目内容
现有下列命题:
①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②设
,
均为单位向量,若|
+
|>1则θ∈[0,
);
③数列{n(n+4)(
)n}中的最大项是第4项;
④设函数f(x)=
,则关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4个解.
其中的真命题有
①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②设
a |
b |
a |
b |
2π |
3 |
③数列{n(n+4)(
2 |
3 |
④设函数f(x)=
|
其中的真命题有
①②③
①②③
.(写出所有真命题的编号).分析:①将a2-b2=1,分解变形为(a+1)(a-1)=b2,即可证明a-1<b,即a-b<1
②根据向量模的计算公式,求出|
+
|>1时,夹角θ的范围,可判断真假
③求数列的最大值,可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理.进而判断其真假
④根据函数f(x)=
,及f2(x)+2f(x)=0解方程求出方程根的个数,可判断其真假
②根据向量模的计算公式,求出|
a |
b |
③求数列的最大值,可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理.进而判断其真假
④根据函数f(x)=
|
解答:解:①若a2-b2=1,则a2-1=b2,
即(a+1)(a-1)=b2,
∵a+1>a-1,
∴a-1<b,即a-b<1,①正确;
②若|
+
|>1,则
2+
2+2
•
>1,
即2+2cosθ>1,cosθ>-
,
又∵θ∈[0,π],
∴θ∈[0,
),②正确;
③由an=n(n+4)(
)n,
令
=
=
•
≥1,
则2(n+1)(n+5)≥3n(n+4),
即n2≤10,所以n<4,
即n<4时,an+1>an,
当n≥4时,an+1<an,
所以a4最大,故③正确;
令f2(x)+2f(x)=0,
则f(x)=0,或f(x)=-2,
∵f(x)=
,
∴当f(x)=0时,
x=1,或x=0,或x=2,
当f(x)=-2时,x=10.1或x=0.99,
故方程有5个解,故④错误
故答案为:①②③
即(a+1)(a-1)=b2,
∵a+1>a-1,
∴a-1<b,即a-b<1,①正确;
②若|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
即2+2cosθ>1,cosθ>-
1 |
2 |
又∵θ∈[0,π],
∴θ∈[0,
2π |
3 |
③由an=n(n+4)(
2 |
3 |
令
an+1 |
an |
(n+1)(n+5)(
| ||
(n)(n+4)(
|
2 |
3 |
(n+1)(n+5) |
(n)(n+4) |
则2(n+1)(n+5)≥3n(n+4),
即n2≤10,所以n<4,
即n<4时,an+1>an,
当n≥4时,an+1<an,
所以a4最大,故③正确;
令f2(x)+2f(x)=0,
则f(x)=0,或f(x)=-2,
∵f(x)=
|
∴当f(x)=0时,
x=1,或x=0,或x=2,
当f(x)=-2时,x=10.1或x=0.99,
故方程有5个解,故④错误
故答案为:①②③
点评:本题主要考查了不等式的证明方法,间接证明和直接证明的方法,放缩法和举反例法证明不等式,演绎推理能力,有一定难度,属中档题
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