题目内容
已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足:①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn=f(n).(1)求f(x)的解析式;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设bn=(
3 |
6bn |
bn+1 |
1 |
bn |
1 |
bn+1 |
分析:(1)根据不等式的解集有一个元素,写出判别式要满足的条件,求出a的值,把所求的两个数值代入解析式进行检验,看哪一个符合单调性,求出a的值.
(2)根据数列{an}的前n项和Sn=f(n),写出前n项和的表示式,根据由前n项和求通项的方法写出数列的通项,验证首项是否符合所求的通项,得到是一个分段形式.
(3)构造出两个新数列,要求数列{Cn}的前n项和,把数列分成三部分来求,整理出最简形式,根据Tn-n>m对(n∈N*,n≥2)恒成立可转化为:m<16+
+n-
对n∈N*,n≥2恒成立,根据16+
+n-
是关于n的增函数,得到结论.
(2)根据数列{an}的前n项和Sn=f(n),写出前n项和的表示式,根据由前n项和求通项的方法写出数列的通项,验证首项是否符合所求的通项,得到是一个分段形式.
(3)构造出两个新数列,要求数列{Cn}的前n项和,把数列分成三部分来求,整理出最简形式,根据Tn-n>m对(n∈N*,n≥2)恒成立可转化为:m<16+
1 |
27 |
1 |
3n+1 |
1 |
27 |
1 |
3n+1 |
解答:解(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素,∴△=a2-4a=0?a=0或a=4,
当a=4时,函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减,
故存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立,
当a=0时,函数f(x)=x2在(0,+∞)上递增,
故不存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立,
综上,得a=4,f(x)=x2-4x+4.
(2)由(1)可知Sn=n2-4n+4,当n=1时,a1=s1=1
当n≥2时,an=sn-sn-1=(n2-4n+4)-[(n-1)2-4(n-1)+4]=2n-5.
∴an=sn-sn-1=
.
(3)∵bn=(
)an+5=
,
∴b1=27,c1=18-
,n≥2时,cn═2+
-
.
Tn=c1+c2+…+cn=c1+2(n-1)+(
-
)]
=18-
+2n-2+
-
=16+
+2n-
Tn-n>m对(n∈N*,n≥2)恒成立可转化为:m<16+
+n-
对n∈N*,n≥2恒成立,
因为16+
+n-
是关于n的增函数,
所以当n=2时,其取得最小值18,
所以m<18.
当a=4时,函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减,
故存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立,
当a=0时,函数f(x)=x2在(0,+∞)上递增,
故不存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立,
综上,得a=4,f(x)=x2-4x+4.
(2)由(1)可知Sn=n2-4n+4,当n=1时,a1=s1=1
当n≥2时,an=sn-sn-1=(n2-4n+4)-[(n-1)2-4(n-1)+4]=2n-5.
∴an=sn-sn-1=
|
(3)∵bn=(
3 |
|
∴b1=27,c1=18-
2 |
27 |
1 |
3n |
1 |
3n+1 |
Tn=c1+c2+…+cn=c1+2(n-1)+(
1 |
32 |
1 |
3n+1 |
=18-
2 |
27 |
1 |
9 |
1 |
3n+1 |
1 |
27 |
1 |
3n+1 |
Tn-n>m对(n∈N*,n≥2)恒成立可转化为:m<16+
1 |
27 |
1 |
3n+1 |
因为16+
1 |
27 |
1 |
3n+1 |
所以当n=2时,其取得最小值18,
所以m<18.
点评:本题考查数列与函数的综合,本题解题的关键是根据所给的条件构造新数列,求新数列的和,这里利用数列的求和的基本方法即分组,注意本题中对于特殊项的验证.
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