题目内容
【题目】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（
b+c）tanC＝﹣ctanA．
（1）求A；
（2）若b
，c＝2，点D在BC边上，且AD＝BD，求AD的长．
【答案】（1）A
；（2）AD
【解析】
（1）在（
b+c）tanC＝﹣ctanA中利用同角公式切化弦和正弦定理边化角可得答案；
（2）先用余弦定理求得
,然后求得
,再在△
中用余弦定理求得
即可.
（1）∵（b+c）tanC＝﹣ctanA，∴（
）
c
，
利用正弦定理边化角得：（sinB+sinC）sinC，∵0＜C＜π，∴sinC≠0，
∴（sinB+sinC）
，∴sinBcosA+sinCcosA＝﹣sinAcosC，
∴sinBcosA＝﹣（sinAcosC+sinCcosA）＝﹣sin（A+C）＝﹣sinB，
又∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝﹣1，∴cosA
，又∵0＜A＜π，∴A
；
（2）∵A，b
，c＝2，∴由余弦定理得：cosA
，
∴
，∴a
，∴cosB
，
∴在三角形ABD中，由余弦定理得：cosB
，且BD＝AD，
，∴AD．
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