题目内容

【题目】已知点为椭圆的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线与椭圆有且仅有一个交点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线轴交于,过点的直线与椭圆交于两不同点,若,求实数的取值范围.

【答案】1;(2.

【解析】

(Ⅰ)求椭圆标准方程,只要求出参数,由于有,因此要列出关于的两个方程,而由条件两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形得,再利用已知直线与椭圆只有一个公共点,即判别式为0可求得椭圆方程;

(Ⅱ)由(Ⅰ)得点的坐标,从而可得,要求范围只要求得的范围,为此可直线分类,对斜率不存在时,求得,而当直线斜率存在时,可设出直线方程为,同时设,则,由韦达定理可把表示为的函数,注意直线与椭圆相交,判别式>0,确定的范围,从而可得的范围,最后可得的取值范围.

试题解析:(Ⅰ)由题意,得,则椭圆为:

,得

直线与椭圆有且仅有一个交点

椭圆的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)得直线轴交于 ,

,

当直线轴垂直时, ,

,

当直线轴不垂直时,设直线的方程为

依题意得,,且

综上所述,的取值范围是 .

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