Question

2．设数列{a_n}满足：a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$，其中，[a_n]、{a_n}分别表示正数a_n的整数部分、小数部分，则a₂₀₁₆=3023+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知求出数列的前几项，得到数列的项呈现的规律得答案．

解答 解：∵a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$，且a₁=$\sqrt{3}$=1+（$\sqrt{3}-1$），
∴${a}_{2}=[{a}_{1}]+\frac{1}{\{{a}_{1}\}}=1+\frac{1}{\sqrt{3}-1}=1+\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$2+\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
${a}_{3}=[{a}_{2}]+\frac{1}{\{{a}_{2}\}}=2+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}=2+\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$4+（\sqrt{3}-1）$，
${a}_{4}=[{a}_{3}]+\frac{1}{\{{a}_{3}\}}=4+\frac{1}{\sqrt{3}-1}=4+\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$5+\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
${a}_{5}=[{a}_{4}]+\frac{1}{\{{a}_{4}\}}=5+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}=5+\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$7+（\sqrt{3}-1）$，
${a}_{6}=[{a}_{5}]+\frac{1}{\{{a}_{5}\}}=7+\frac{1}{\sqrt{3}-1}=7+\frac{\sqrt{3}+1}{2}=8+$$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
${a}_{7}=[{a}_{6}]+\frac{1}{\{{a}_{6}\}}=8+\frac{2}{\sqrt{3}-1}=8+\sqrt{3}+1$=$10+\sqrt{3}-1$，
${a}_{8}=[{a}_{7}]+\frac{1}{\{{a}_{7}\}}=10+\frac{1}{\sqrt{3}-1}=10+\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$11+\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
…
∴a₂₀₁₆=2016+1007+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$=3023+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故答案为：3023+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题是新定义题，考查了数列递推式，关键是由数列前几项得到数列的规律，是中档题．