题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,点
为椭圆上一点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知两条互相垂直的直线,
经过椭圆
的右焦点
,与椭圆
交于
四点,求四边形
面积的的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由题意可得,解得进而得到椭圆的方程;(2)设出直线l1,l2的方程,直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,分别求得|AB|,|MN|,再由四边形的面积公式,化简整理计算即可得到取值范围.
(1)由题意可得,解得a2=4,b2=3,c2=1
故椭圆C的方程为;
(2)当直线l1的方程为x=1时,此时直线l2与x轴重合,
此时|AB|=3,|MN|=4,
∴四边形AMBN面积为S|AB||MN|=6.
设过点F(1,0)作两条互相垂直的直线l1:x=ky+1,直线l2:xy+1,
由x=ky+1和椭圆1,可得(3k2+4)y2+6ky﹣9=0,
判别式显然大于0,y1+y2,y1y2
,
则|AB|,
把上式中的k换为,可得|MN|
则有四边形AMBN面积为S|AB||MN|
,
令1+k2=t,则3+4k2=4t﹣1,3k2+4=3
则S,
∴t>1,
∴01,
∴y=﹣()2
,在(0,
)上单调递增,在(
,1)上单调递减,
∴y∈(12,],
∴S∈[,6)
故四边形PMQN面积的取值范围是

【题目】在2018年3月郑州第二次模拟考试中,某校共有100名文科学生参加考试,其中语文考试成绩低于130的占95%人,数学成绩的频率分布直方图如图:
(Ⅰ)如果成绩不低于130的为特别优秀,这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人?
(Ⅱ)如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人.
(ⅰ)从(Ⅰ)中的这些同学中随机抽取2人,求这两人两科成绩都优秀的概率.
(ⅱ)根据以上数据,完成列联表,并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学,数学也特别优秀.
语文特别优秀 | 语文不特别优秀 | 合计 | |
数学特别优秀 | |||
数学不特别优秀 | |||
合计 |
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |