题目内容
已知圆
，直线
。
（Ⅰ）求证：对
，直线
与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为
，求此时直线的方程
，直线。（Ⅰ）求证：对
，直线与圆C总有两个不同交点；（Ⅱ）设
与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为
，求此时直线的方程（Ⅰ）解法一：圆的圆心为
，半径为
。
∴圆心C到直线的距离
∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；
方法二：∵直线过定点
，而点在圆内∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则
，
∴
设
，则
，
化简得：
当M与P重合时，
也满足上式。
故弦AB中点的轨迹方程是
。
（Ⅲ）设
，由得
，
∴
，化简的
………………①
又由
消去
得
……………（*）
∴
………………………………②
由①②解得
，带入（*）式解得
，
∴直线的方程为
或
的圆心为，半径为。∴圆心C到直线
的距离∴直线
与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；方法二：∵直线
过定点，而点在圆内∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则
，∴
设
，则，化简得：
当M与P重合时，
也满足上式。故弦AB中点的轨迹方程是
。（Ⅲ）设
，由得，∴
，化简的………………①又由
消去得……………（*）∴
………………………………②由①②解得
，带入（*）式解得，∴直线
的方程为或略
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与圆
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。