题目内容
已知函数是在
上每一点均可导的函数,若
在
时恒成立.
(1)求证:函数在
上是增函数;
(2)求证:当时,有
;
(3)请将(2)问推广到一般情况,并证明你的结论.
【答案】
【解析】(1)由得
因为
,
所以在
时恒成立,所以函数
在
上是增函数.……3分
(2)由(1)知函数在
上是增函数,所以当
时,
有成立,……5分
从而,
两式相加得.……7分
(3)推广到一般情况为:
若,则
,
.……8分
以下用数学归纳法证明
(1)当时,有(2)已证成立,……9分
(2)假设当时成立,即
那么当时,
成立,即当时也成立.
有(1)(2)可知不等式对一切时都成立.……12分

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