题目内容

 已知函数是在上每一点均可导的函数,若时恒成立.

(1)求证:函数上是增函数;

(2)求证:当时,有

(3)请将(2)问推广到一般情况,并证明你的结论.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 【解析】(1)由因为

    所以时恒成立,所以函数上是增函数.……3分

(2)由(1)知函数上是增函数,所以当时,

成立,……5分

从而

两式相加得.……7分

(3)推广到一般情况为:

,则.……8分

以下用数学归纳法证明

(1)当时,有(2)已证成立,……9分

(2)假设当时成立,即

那么当时,

成立,即当时也成立.

    有(1)(2)可知不等式对一切时都成立.……12分

 

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