题目内容
7.设α、β、γ满足0<α<β<γ<2π,若对任意x∈R,cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0恒成立,则γ-α的值是( )A. | $\frac{2π}{3}$ | B. | $\frac{4π}{3}$ | C. | $\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$ | D. | 无法确定 |
分析 设f(x)=cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ),通过赋值f(-α)=0,f(-β)=0,f(-γ)=0,可求得cos(β-α)=cos(γ-β)=cos(γ-α)=-$\frac{1}{2}$,结合已知0<α<β<γ<2π,即可求得答案.
解答 解:设f(x)=cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ),
由题意知,?x∈R,f(x)=0恒成立,
则f(-α)=f(-β)=f(-γ)=0,
∴cos(β-α)+cos(γ-α)=cos(β-α)+cos(γ-β)=cos(γ-α)+cos(γ-β)=-1,
故cos(β-α)=cos(γ-β)=cos(γ-α)=-$\frac{1}{2}$.
由于0<α<β<γ<2π,
故β-α,γ-β,γ-α∈{$\frac{2π}{3}$,$\frac{4π}{3}$},从而γ-α=$\frac{4π}{3}$,
故选:B.
点评 本题考查两角和与差的余弦函数,突出考查构造函数思想与赋值法的应用,考查综合分析与运算的能力,属于难题.
练习册系列答案
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