Question

设函数f（x）=px-2lnx．
（1）若p＞0，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数g（x）=f（x）-

p

x

在其定义域内为单调函数，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）=px-2lnx求导，通过列表即可求得函数f（x）的最小值；
（2）由g（x）=f（x）-

p

x

=px-

p

x

-2lnx，可求得g′（x）=

px2-2x+p

x2

，依题意，对参数p分p=0，p＞0与p＜0讨论，利用函数恒成立问题即可求得各自情况下p的范围，从而可得P的取值范围．

解答：解：（1）∵f′（x）=p-

2

x

=

px-2

x

，令f′（x）=0，得x=

2

p

．
∵p＞0，列表如下，

从上表可以得，当x=

2

p

时，f（x）有极小值2-2ln

2

p

．（4分）
又此极小值也为最小值，所以当x=

2

p

时，f（x）有最小值2-2ln

2

p

．（5分）
（2）因为g（x）=f（x）-

p

x

=px-

p

x

-2lnx，则g′（x）=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

，
由函数g（x）=f（x）-

p

x

在其定义域内为单调函数得，g′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立或g′（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立．
①当p=0时，g′（x）=-

2

x

＜0对x∈（0，+∞）恒成立（7分）
此时g（x）在其定义域内为减函数，满足要求．
②当p＞0时，g′（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立不可能，
由g′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立得px²-2x+p≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即p≥

2x

x2+1

对x∈（0，+∞）恒成立，
∵当x∈（0，+∞）时，

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，
∴p≥1（9分）
③当p＜0时，g′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立不可能，
由g′（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立得px²-2x+p≤0对x∈（0，+∞）恒成立，即p≤

2x

x2+1

对x∈（0，+∞）恒成立，
∵当x∈（0，+∞）时，

2x

x2+1

＞0，
∴p≤0；
又∵p＜0，
∴此时p＜0．（11分）
综上所述，P的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）．．（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数在最大值、最小值问题中的综合应用，考查分类讨论思想与化归思想的综合应用，考查分析、逻辑推理与综合运算能力，属于难题．