Question

13．设f（x）=$\frac{si{n}^{2}（2x+\frac{π}{4}）+a}{sin（2x+\frac{π}{4}）}$，0≤x≤$\frac{π}{4}$，a∈R．
（1）当a=$\frac{3}{4}$时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值是7，求a的值．

Answer 1

分析 （1）设t=sin（2x+$\frac{π}{4}$），可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t≤1，由于当a=$\frac{3}{4}$时，y=t+$\frac{\frac{3}{4}}{t}$，结合图象由其单调性即可求得最小值．
（2）分类讨论，当a＜0，a=0时，y=t+$\frac{a}{t}$最小值不是7，当a＞0时，可得y=t+$\frac{a}{t}$在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上增函数，讨论可得当a＞1，则t=1时y最小，y_min=7，即可解得a的值．

解答 解：设t=sin（2x+$\frac{π}{4}$），0≤x≤$\frac{π}{4}$时，$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t≤1，
（1）当a=$\frac{3}{4}$时，y=t+$\frac{\frac{3}{4}}{t}$ 在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是减函数，是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]上增函数，
f（x）=t+$\frac{\frac{3}{4}}{t}$的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；
（2）当a＜0时，y=t+$\frac{a}{t}$在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]上增函数，最小值小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，不可能是7；
当a=0时，y=t+$\frac{a}{t}$在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]上增函数，最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$≠7；
当a＞0时，因为（t₁+$\frac{a}{{t}_{1}}$）-（t₂+$\frac{a}{{t}_{2}}$）=$\frac{（{t}_{1}-{t}_{2}）（{t}_{1}{t}_{2}-a）}{{t}_{1}{t}_{2}}$，
所以y=t+$\frac{a}{t}$在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上增函数，
若a＞1，则t=1时y最小，y_min=1+a=7，所以a=6，
若$\frac{1}{2}$≤a≤1，则t=$\sqrt{a}$时y最小，y_min=2$\sqrt{a}$=7，不可能，
若a＜$\frac{1}{2}$，则t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时y最小，y_min=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{2}$a=7，不可能，
综上所述，若f（x）的最小值是7，则a的值6．

点评 本题主要考查了二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．