题目内容

已知向量
m
=(sin
ωx
2
，1)，
n
=(
3
Acos
ωx
2
，
A
2
cosωx)(A＞0，ω＞0)，函数f(x)=
m
•
n
的最大值为6，最小正周期为π．
（1）求A，ω的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移
π
12
个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．求g(x)在[0，
5π
6
]上的值域．
分析：（1）由已知中两向量的坐标，求出函数的解析式，进而根据函数的最大值及最小正周期，可求出A，ω的值；
（2）根据正弦函数图象的平移变换法则，求出平移后函数y=g（x）的解析式，进而结合正弦型函数的图象和性质，可求出g(x)在[0，
5π
6
]上的值域．
解答：解：（1）由题意有f(x)=
m
•
n
=A(
3
2
sinωx+
1
2
cosωx)=Asin(ωx+
π
6
)…（4分）
∵最大值为6，周期为π且A＞0，ω＞0
∴A=6，ω=
2π
T
=
2π
π
=2…（6分）
（2）∵y=f(x)向左平移
π
12
，向上移动1个单位
∴g(x)=6sin(2x+
π
3
)+1…（8分）
∵x∈[0，
5π
6
]则2x+
π
3
∈[
π
3
，2π]…（10分）
∴sin(2x+
π
3
)∈[-1，1]
即g（x）的值域为[-5，7]…（12分）
点评：本题考查的知识点是三角函数的图象和性质，向量的数量积运算，函数图象的平移，其中利用向量的数量积公式及函数图象的平移变换法则求出函数的解析式，是解答的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

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