题目内容

如图，直三棱柱ABCA₁B₁C₁的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求 $数学公式$ 的模；
（2）求异面直线BA₁与CB₁所成角的余弦值；
（3）求证：A₁B⊥C₁M．

（1）解：以C为坐标原点，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xyz，如图
由题意得N（1，0，1），B（0，1，0），
∴| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）解：依题意得A₁（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B₁（0，1，2），C₁（0，0，2）．
∴ $\text{[math]}$ =（1，-1，2）， $\text{[math]}$ =（0，1，2），
∴ $\text{[math]}$ =3．
∴| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，
∴cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴异面直线BA₁与CB₁所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
（3）证明：∵ $\text{[math]}$ =（-1，1，-2）， $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，0），
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-1× $\text{[math]}$ +1× $\text{[math]}$ +（-2）×0=0，
∴ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，即A₁B⊥C₁M．
分析：（1）建立空间直角坐标系，求出B，N两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出BN的长；
（2）求出 $\text{[math]}$ =（1，-1，2）， $\text{[math]}$ =（0，1，2），利用向量的夹角公式，即可求异面直线BA₁与CB₁所成角的余弦值；
（3）证明 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，即可证明A₁B⊥C₁M．
点评：本题考查直线与直线垂直，考查线线角，其中建立空间坐标系，将线线垂直，线线角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．