Question

已知函数f（x）的定义域为D，若对任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f(

x

3

)=

1

2

f(x)；③f（1-x）=2-f（x）．则f(

1

3

)+f(

1

8

)=（　　）

• A．1
• B．

  3

  2

• C．2
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：在③中，令x=0，则可求出f（1），在②中，令x=1，则可求出f（

1

3

）．在②③中，再分别令x=

1

2

，

1

3

，可求出f(

1

2

)，f(

1

6

)，f(

1

9

)，函数f（x）在[0，1]上为非减函数，可得f（

1

9

）≤f（

1

8

）≤f(

1

6

)，进而求出f(

1

8

)的值．

解答：解：由③，令x=0，则f（1）=2-f（0）．又f（0）=0，∴f（1）=2．
由②令x=1，则f（

1

3

）=

1

2

f(1)，∴f(

1

3

)=1．
在③中，令x=

1

2

，则f（1-

1

2

）=2-f（

1

2

），解得f（

1

2

）=1，
 在②中，令x=

1

3

，则f（

1

9

）=

1

2

f(

1

3

)=

1

2

；再令x=

1

2

，则f（

1

6

）=

1

2

f(

1

2

)=

1

2

．
∵

1

9

＜

1

8

＜

1

6

，且函数f（x）在[0，1]上为非减函数，
∴f（

1

9

）≤f（

1

8

）≤f(

1

6

)，∴f(

1

8

)=

1

2

．
于是f(

1

3

)+f(

1

8

)=1+

1

2

=

3

2

．
故选B．

点评：本题考查了满足某些条件的非减函数，恰当的取值和利用条件非减函数是解决此题的关键．