题目内容
【题目】已知函数的导函数为
,且
,其中
为自然对数的底数.
(1)求函数的最大值;
(2)证明 :.
【答案】(1)0(2)见解析
【解析】分析:(1)由题意可得,明确函数的单调性,从而得到函数
的最大值;
(2)由(1)得,即
,要证
,
即,故只需证
,故只需证
,
即证成立.
详解:(1)因为,所以
,
,
解得则
,
所以,
令,得
,令
得
,
所以当时,
.
(2)由(1)得的最大值为0,
所以,即
,
从而,
要证,
即,
故只需证,
即证成立;
令
则,
令,则
,
令,得
,
因为单调递增,所以当
时,
,
单调递减,即
单调递减.
当时,
,
单调递增, 即
单调递增,
因为,
,
由零点存在定理可知,,使得
,
故当或
时,
单调递增;
当时,
单调递减,
所以的最小值是
或
.
由,得
,
,
因为,所以
,
故当时,
,所以原不等式成立.
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