题目内容
（2007•闸北区一模）如图：过点P（0，2）做直线交抛物线x2=2y于A，B两点，O为坐标原点．（1）求证：OA⊥OB．
（2）求△OAB面积的最小值．
分析：（1）直线AB：y=kx+2与抛物线x2=2y联立，求出OA，OB的斜率，利用韦达定理可得结论；
（2）根据S△OAB=S△OAP+S△OBP，表示出面积，得出S△OAB=2
，即可得到结论．
（2）根据S△OAB=S△OAP+S△OBP，表示出面积，得出S△OAB=2
| k2+4 |
解答：
证明：（1）由题意，设直线AB：y=kx+2，与抛物线x2=2y联立，可得x2-2kx-4=0
设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），
则直线OA的斜率为kOA=
，直线OB的斜率为kOB=
，
因为x1，x2是方程x2-2kx-4=0得两个解，根据韦达定理得x1+x2=2k，x1x2=-4
∴kOAkOB=
=
=
=
=-1
所以OA⊥OB；
（2）S△OAB=S△OAP+S△OBP=
|OP||x1|+
|OP||x2|=
|OP||x2-x1|=2
，
∴当k=0时，△OAB面积最小，最小值为4．
证明：（1）由题意，设直线AB：y=kx+2，与抛物线x2=2y联立，可得x2-2kx-4=0设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），
则直线OA的斜率为kOA=
| y1 |
| x1 |
| y2 |
| x2 |
因为x1，x2是方程x2-2kx-4=0得两个解，根据韦达定理得x1+x2=2k，x1x2=-4
∴kOAkOB=
| y1y2 |
| x1x2 |
| (kx1+2)(kx2+2) |
| x1x2 |
| k2x1x2+2k(x1+x2)+4 |
| x1x2 |
| -4k2+2k•2k+4 |
| -4 |
所以OA⊥OB；
（2）S△OAB=S△OAP+S△OBP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| k2+4 |
∴当k=0时，△OAB面积最小，最小值为4．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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