题目内容

设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.
(1)问:直线能否垂直?若能,求之间满足的关系式;若不能,说明理由;
(2)已知的中点,且点在椭圆上.若,求之间满足的关系式.

(1)直线不能垂直;(2)

解析试题分析:(1)设直线的方程为,与椭圆方程联立,消去整理为关于的一元二次方程,因为有两个交点则判别式应大于0,由韦达定理可得根与系数的关系,用中点坐标公式求点的坐标。求出直线的斜率,假设两直线垂直则斜率相乘等于,解出的关系式,根据关系式及椭圆中的关系判断假设成立与否。(2)∵M为ON的中点,M为AB的中点,∴四边形OANB为平行四边形.
,∴四边形OANB为矩形,∴,转化为向量问题,可得的关系式。由中点坐标公式可得点的坐标,将其代入椭圆方程,与上式联立消去即可得之间满足的关系式。
试题解析:解答:(1)∵斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,
∴可以设直线的方程为.
,∴
.    ①             1分
∵直线与椭圆相交于两点,∴

. ②          2分
.  ③              3分
为线段的中点,∴,
,∴.     4分
假设直线能垂直.
∵直线的斜率为1,∴直线的斜率为-1,
,∴.                  5分
∵在椭圆方程中,
∴假设不正确,在椭圆中直线不能垂直.             6分
(2)∵M为ON的中点,M为AB的中点,∴四边形OANB为平行四边形.
,∴四边形OANB为矩形,∴,         8分
,∴,∴

,整理得.   10分
点在椭圆上,∴
. 此时,满足
消去,即.            12分
考点:1直线与椭圆的位置关系;2直线垂直时斜率的关系;3转化思想。

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