Question

8．圆x²+y²=4上恰有两个点到3x-4y+c=0的距离等于1，则c的取值范围为（-15，-5）∪（5，15）．

Answer 1

分析 由条件求出圆心，求出半径，由数形结合，只需圆心到直线的距离d大于半径与1的差小于半径与1的和即可．

解答 解：由已知可得：圆半径为2，圆心为（0，0），故圆心（0，0）到直线3x-4y+c=0的距离为：d=$\frac{|c|}{5}$
如图中的直线m恰好与圆由3个公共点，此时d=OA=2-1，
直线n与圆恰好有1个公共点，此时d=OB=2+1=3，当直线介于m、n之间满足题意．
故要使圆x²+y²=4上恰有两个点到直线4x-3y+c=0的距离为1，
只需d大于1小于3，即1＜$\frac{|c|}{5}$＜3，
解得：-15＜c＜-5，或5＜c＜15
故c的取值范围是（-15，-5）∪（5，15）．
故答案为：（-15，-5）∪（5，15）．

点评 本题考查圆与直线的位置关系，数形结合得出数量关系是解决问题的关键，属中档题．