Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$在区间（a，a+$\frac{2}{3}$）（a＞0）上存在极值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{2}{3}$，1）

Answer 1

分析 求导函数，求出函数的极值点，利用函数f（x）在区间（a，a+$\frac{2}{3}$）上存在极值点，建立不等式，即可求实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜1，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即x＞1，函数单调递减，
∴1是函数的极值点，
∵函数f（x）区间（a，a+$\frac{2}{3}$）（a＞0）上存在极值，
∴a＜1＜a+$\frac{2}{3}$
∴$\frac{1}{3}$＜a＜1．
故选：B．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．