Question

已知P是椭圆

x2

4

+y²=1上的一点，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点．
（1）当∠F₁PF₂=60°时，求△PF₁F₂的面积；
（2）当∠F₁PF₂为钝角时，求点P的横坐标的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用椭圆的定义和余弦定理及面积公式，即可求得；
（2）设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F₁PF₂是钝角推断出PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²代入p坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．

解答： （1）解：∵椭圆的方程为

x2

4

+y²=1，
∴a=2，b=1，c=

3

．
又∵P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°，F₁、F₂为左右焦点，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=4，|F₁F₂|=2

3

，
∴|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P||PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°
=16-3|F₁P|•|PF₂|=12，
∴|F₁P|•|PF₂|=

4

3

．
∴S△PF₁F₂=

1

2

|F₁P|•|PF₂|sin60°
=

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

；
（2）设p（x，y），则 F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
且∠F₁PF₂是钝角，PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²即（x+

3

）²+y²+（x-

3

）²+y²＜12，
?x²+3+y²＜6，即x²+（1-

x2

4

）＜3即x²＜

8

3

．即-

2 6

3

＜x＜

2 6

3

．
故点P的横坐标的取值范围（-

2 6

3

，

2 6

3

）．

点评：本题主要考查了椭圆的定义和方程及简单性质和解不等式，考查余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．