Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，

CG

=

1

3

CB

．
（I）求证：PC⊥BC；
（II）求三棱锥C-DEG的体积；
（III）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由PD⊥BC，BC⊥CD，推出BC⊥平面PCD，从而证明 PC⊥BC．
（II）由GC是三棱锥G-DEC的高，三棱锥C-DEG的体积和三棱锥G-DEC的体积相等，
通过求三棱锥G-DEC的体积得到三棱锥C-DEG的体积．
（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG，由三角形相似可得 AM=CG=

2

3

．

解答：解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，（1分）
又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，（2分）∵PDICE=D，
∴BC⊥平面PCD，又∵PC?面PBC，∴PC⊥BC．（4分）
（II）解：∵BC⊥平面PCD，
∴GC是三棱锥G-DEC的高．（5分）
∵E是PC的中点，∴S△EDC=

1

2

S△EDC=

1

2

S△PDC=

1

2

•(

1

2

•2•2)=1．（6分）
∴VC-DEG=VG-DEC=

1

3

GC•S△DEC=

1

3

•

2

3

•1=

2

9

．（8分）
（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．（9分）
下面证明之：
∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥平面PA，（10分）
又∵EO?平面MEG，PA?平面MEG，∴PA∥平面MEG，（11分）
在正方形ABCD中，∵O是AC中点，∴△OCG≌△OAM，
∴AM=CG=

2

3

，∴所求AM的长为

2

3

． （12分）

点评：本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．