Question

【题目】已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．

给出下列四个结论：

①f（0）=0；②f（x）为偶函数；

③f（x）为R上减函数；④f（x）为R上增函数．

其中正确的结论是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据题意，令y=x=0计算f（0）的值，判断①正确；

令y=-x，得出f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数，判断②错误；

根据x＞0，f（x）＜0，x=0时f（x）=0，x＜0时，f（x）＞0，

判断f（x）为R上的减函数，③正确，④错误．

解：对于①，令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0，①正确；

对于②，令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数，②错误；

对于③，）f（x）是R上的减函数，证明如下：

任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0

∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）<0

∴f（x1）>f（x2）

故f（x）是R上的减函数．③正确，④错误．

综上，其中正确的结论是①③．

故选：A．