题目内容
【题目】用数学归纳法证明:当n∈N*时,1+22+33+…+nn<(n+1)n.
【答案】见解析
【解析】
根据数学归纳法证明步骤,逐步证明即可。
(1)当n=1时,左边=1,右边=2,1<2,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即1+22+33+…+kk<(k+1)k;
那么,当n=k+1时,左边=1+22+33+…+kk+(k+1)k+1<(k+1)k+(k+1)k+1=(k+1)k(k+2)<(k+2)k+1=[(k+1)+1]k+1=右边,即左边<右边,
即当n=k+1时不等式也成立.
根据(1)和(2)可知,不等式对任意n∈N*都成立.