Question

【题目】用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋33＋…＋nn<(n＋1)n.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

根据数学归纳法证明步骤，逐步证明即可。

(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk<(k＋1)k；

那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)<(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边<右边，

即当n＝k＋1时不等式也成立．

根据(1)和(2)可知，不等式对任意n∈N*都成立．