题目内容

△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（ $数学公式$ -1）c．
（1）求角A的大小；
（2）已知S_△ABC=6+2 $数学公式$ ，求函数f（x）=cos2x+asinx的最大值．

解：（1）因为B=60°，所以A+C=120°，C=120°-A
因为a=（ $\text{[math]}$ -1）c，由正弦定理可得：sinA=（ $\text{[math]}$ ）sin C
sinA=（ $\text{[math]}$ ）sin（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）（sin $\text{[math]}$ cosA-cos $\text{[math]}$ sinA）=（ $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ cosA+ $\text{[math]}$ sinA），
整理可得：tanA=1 所以，A=45°（或 $\text{[math]}$ ）
（2）因为 S_△ABC=6+2 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
所以a=4
函数f（x）=cos2x+4sinx=1-2sin²x+4sinx=-2（sinx-1）²+3
∴当 sinx=1时，f_max（x）=3，
分析：（1）利用正弦定理，以及三角形的内角和，直接求出角A的大小；
（2）利用S_△ABC=6+2 $\text{[math]}$ ，求出a，然后化简函数f（x）=cos2x+asinx为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最大值．
点评：本题是中档题，考查正弦定理的应用，三角函数值域及二次函数值域，容易忽视正弦函数的范围而出错．高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可