题目内容

已知函数f(x)的定义域是且f(x)+f(2-x)=0,,当时,f(x)=3x
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)求f(x)在区间Z)上的解析式;
(3)是否存在正整数k,使得当x∈时,不等式log3f(x)>x2-kx-2k有解?证明你的结论.
【答案】分析:(1)由已知中,可得,进而结合f(x)+f(2-x)=0,可得f(x)+f(-x)=0,结合奇函数的定义,可得答案.
(2)由已知中当时,f(x)=3x.结合(1)中结论,可得f(x)在区间Z)上的解析式;
(3)由(2)的结论及指数的运算性质,我依次为可将不等式log3f(x)>x2-kx-2k转化为二次不等式的形式,进而分析出对应函数在区间上的单调性,即可得到结论.
解答:解:(1)由,(3分)
由f(x)+f(2-x)=0得f(x)+f(-x)=0,(4分)
故f(x)是奇函数.(5分)
(2)当x∈时,
∴f(1-x)=31-x.     (7分)

∴f(x)=3x-1.       (9分)
当x∈Z)时,
∴f(x-2k)=3x-2k-1
因此f(x)=f(x-2k)=3x-2k-1.                      (11分)
(3)不等式log3f(x)>x2-kx-2k即为x-2k-1>x2-kx-2k,
即x2-(k+1)x+1<0.                          (13分)
令g(x)=x2-(k+1)x+1,对称轴为
因此函数g(x)在上单调递增.         (15分)
因为,又k为正整数,
所以,因此x2-(k+1)x+1>0在上恒成立,(17分)
因此不存在正整数k使不等式有解.                     (18分)
点评:本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用,其中(1)的关键由已知条件得到f(x)+f(-x)=0,(2)的关键是由已知判断出f(x)=f(x-2k),(3)的关键是根据(2)的结论构造关于k的不等式.
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