题目内容

已知椭圆c：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A（0，b），△AF1F2是正三角形且周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|+|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．
（1）由题意，得
a=2c
a+a+2c=6
a2=b2+c2
，解之得a=2，b=
3
，c=1
故椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1，离心率e=
1
2
；
（2）∵△AF1F2是正三角形，可得直线AF1的斜率为k=tan
π
3
=
3

∴直线AF1的方程为y=
3
（x+1）
设点O关于直线AF1的对称点为M（m，n），则
n
m
•
3
=-1
n
2
=
3
(
m
2
+1)
，
解之得m=-
3
2
，n=
3
2
，可得M坐标为（-
3
2
，
3
2
），
∵|PO|=|PM|，|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|＞|MF2|
∴|PF2|+|PM|的最小值为|MF2|=
(-
3
2
-1)2+(
3
2
-0)2
=
7

直线MF2的方程为y=
3
2
-0
-
3
2
-1
（x-1），即y=-
3
5
（x-1）
由
y=-
3
5
(x-1)
y=
3
(x+1)
解得
x=-
2
3
y=
3
3
，所以此时点P的坐标为（-
2
3
，
3
3
）．
综上所述，可得求|PF2|+|PO|的最小值为
7
，此时点P的坐标为（-
2
3
，
3
3
）．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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