Question

【题目】设函数f(x)＝ x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当m≥0时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ ，
当m≤0时，f′(x)≥0，所以函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，无单调减区间；
当m＞0时， f′(x)＝ ；
当0＜x＜ 时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞ 时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
综上，当m≤0时，函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，无单调减区间；当m＞0时，函数f(x)的单调增区间是( ，＋∞)，单调减区间是(0， )．
（2）解：令F(x)＝f(x)－g(x)＝－ x2＋(m＋1)x－mln x，x＞0，问题等价于求函数F(x)的零点个数，
当m＝0时，F(x)＝－ x2＋x，x＞0，有唯一零点；
当m＞0时，F′(x)＝－ ，
当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)＝ ＞0，F(4)＝－ln 4＜0，所以F(x)有唯一零点；
当m＞1时，由F′(x)＜0得0＜x＜1或x＞m，由F′(x)＞0得1＜x＜m，所以函数F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)＝m＋ ＞0，
F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)＜0，
所以F(x)有唯一零点；
当0＜m＜1时，0＜x＜m或x＞1时，由F′(x)＜0得，0＜x＜m或x＞1，
由F′(x)＞0得m＜x＜1，
所以函数F(x)在(0，m)和(1，＋∞)单调递减，在(m，1)单调递增，又ln m＜0，
所以F(m)＝ (m＋1－2ln m)＞0，
而F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)＜0，所以F(x)有唯一零点．
综上，函数F(x)有唯一零点，即当m≥0时函数f(x)与g(x)图象总有一个交点．
【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），问题等价于求F（x）的零点个数，结合函数的单调性以及m的范围，求出即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．