题目内容
【题目】在四棱锥中,底面
是正方形,顶点
在底面的射影是底面的中心,且各顶点都在同一球面上,若该四棱锥的侧棱长为
,体积为4,且四棱锥的高为整数,则此球的半径等于( )(参考公式:
)
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
如图所示,设底面正方形的中心为
,正四棱锥
的外接球的球心为
,半径为
.则在
中,有
,再根据体积为
可求
及
,在
中,有
,解出
后可得正确的选项.
如图所示,设底面正方形的中心为
,正四棱锥
的外接球的球心为
,半径为
.
设底面正方形的边长为
,正四棱锥的高为
,则
.
因为该正四棱锥的侧棱长为,所以
,即
……①
又因为正四棱锥的体积为4,所以 ……②
由①得,代入②得
,配凑得
,
,即
,
得或
.
因为,所以
,再将
代入①中,解得
,
所以,所以
.
在中,由勾股定理,得
,
即,解得
,所以此球的半径等于
.故选B.
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