题目内容

【题目】已知抛物线经过点,过作倾斜角互补的两条不同直线.

1)求抛物线的方程及准线方程;

2)设直线分别交抛物线两点(均不与重合,如图),记直线的斜率为正数,若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切,求的值.

【答案】1)抛物线的方程为,准线方程为;(2.

【解析】

1)代入的坐标,解方程可得,即得到抛物线的方程和准线方程;

2)设直线的方程为,联立抛物线的方程,可得的方程,运用韦达定理可得的坐标,将换为,可得的坐标,求得的长和中点坐标,可得所求圆的半径和圆心,由直线和圆相切的条件,求得

1)由于在抛物线上,所以,即

故所求抛物线的方程为,其准线方程为

2)设直线的方程为

将直线的方程与抛物线的方程联立

消去

设点,由韦达定理得,可得

所以,点的坐标为

同理可知,点的坐标为

线段的中点坐标为

因为以为直径的圆与准线相切,,解得.

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