Question

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0），设点A(1，

1

2

)．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由“左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0）”得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），由中点坐标公式，分别求得x₀，y₀，代入椭圆方程，可求得线段PA中点M的轨迹方程．
（3）分直线BC垂直于x轴时和直线BC不垂直于x轴两种情况分析，求得弦长|BC|，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．

解答：解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=

3

，则半短轴b=1．
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），
由

x= x0+1 2 y= y0+ 1 2 2

得

x0=2x-1 y0=2y- 1 2

由，点P在椭圆上，得

(2x-1)2

4

+(2y-

1

2

)2=1，
∴线段PA中点M的轨迹方程是(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1．
（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，
因此△ABC的面积S_△ABC=1．
当直线BC不垂直于x轴时，说该直线方程为y=kx，代入

x2

4

+y2=1，
解得B（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），C（-

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），
则|BC|=4

1+k2

1+4k2

，又点A到直线BC的距离d=

|k- 1 2 |

1+k2

，
∴△ABC的面积S_△ABC=

1

2

|BC|•d=

|2k-1|

1+4k2

于是S_△ABC=

4k2-4k+1 4k2+1

=

1- 4k 4k2+1

由

4k

4k2+1

≥-1，得S_△ABC≤

2

，其中，当k=-

1

2

时，等号成立．
∴S_△ABC的最大值是

2

．

点评：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，还考查了三角形面积模型的建立和解模型的能力．