Question

如图，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB∥CD．若双曲线以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，则可表示出BC，EB，CD，进而可求得梯形的周长的表达式，根据二次函数的性质求得周长的最大值时θ的值，则AC和BC可求，根据双曲线的定义求得双曲线的长轴，即可求得双曲线的离心率．
解答：解：设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，则BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2Rsin²θ，
∴CD=2R-4Rsin²θ，
∴梯形的周长l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin²θ=-4R（sinθ-）²+5R．
当sinθ=，即θ=30°时，l有最大值5R，
这时，BC=R，AC=R，a=（AC-BC）=（-1）R，
∴e==+1．
故选D．
点评：本题主要考查了双曲线的应用，双曲线的定义，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．