题目内容

已知|
a
|=2|
b
|≠0，且关于x的函数f(x)=
1
3
x3+
1
2
|
a
|x2+
a
•
b
x在R上有极值，则
a
与
b
的夹角范围为（　　）
A、(0，
π
6
)
B、(
π
6
，π]
C、(
π
3
，π]
D、(
π
3
，
2π
3
]
分析：利用函数的极值的性质是极值点是导函数的根且根左右两边导函数符号相反，得到不等式，利用向量的数量积公式将不等式用向量的模、夹角表示，解不等式求出夹角．
解答：解：∵f(x)=
1
3
x3+
1
2
|
a
|x2+
a
•
b
x在R上有极值
∴f′(x)=x2+|
a
|x+
a
•
b
=0有不等的根
∴△＞0
即
a
2-4
a
•
b
＞0
∴|
a
|2-4|
a
||
b
|cosθ＞0
∵|
a
|=2|
b
|≠0
∴cosθ＜
1
2

∵0≤θ≤π
∴
π
3
＜θ≤π
故选C
点评：本题考查函数在某点取极值的条件：极值点处导数为0且左右两边导函数符号相反、利用向量的数量积公式求向量的夹角．
练习册系列答案
相关题目
已知|
a
|=2|
b
|≠0，且关于x的方程x2+|
a
|x+
a
•
b
=0有实根，则
a
与
b
的夹角的取值范围是
 
．
已知|
a
|=2|
b
|，命题p：关于x的方程x2+|
a
|x+
a
•
b
=0没有实数根，命题q：＜
a
，
b
＞∈[0，
π
4
]，则命题p是命题q的
 
．
已知|
a
|=2 |
b
|=3，
a
与
b
的夹角为60°，
c
=5
a
+3
b
，
d
=3
a
+k
b
，当实数k为何值时，
（1）
c
∥
d
   
（2）
c
⊥
d
．
已知|
a
|=2|
b
|≠0，且关于x的方程x2-|
a
|x+
a
•
b
=0有两个不同的正实数根，则
a
与
b
的夹角范围为（　　）
已知|
a
|=2|
b
|，命题p：关于x的方程x2+|
a
|x+
a
•
b
=0没有实数根，命题q：＜
a
，
b
＞∈[0，
π
4
]，则命题p是命题q的（　　）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件

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