Question

一个口袋装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球,一次摸奖从中摸2个球(每次摸奖后放回),2个球颜色不同则为中奖.
(1)试用n表示一次摸奖中奖的概率.
(2)若n=5,求3次摸奖的中奖次数ξ=1的概率及数学期望.
(3)记3次摸奖恰有1次中奖的概率为P,当n取多少时,P最大?

Answer 1

(1) P=   (2)       (3) n=20

(1)记“1次从n+5个球中摸出2个球”为事件A,card(A)=.
“1次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为事件B,card(B)=5n,
所以,所求概率P=.
(2)3次放回式摸奖中“每次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为独立重复事件,
当n=5时,获奖次数ξ～B(3,),
P(ξ=1)=.
E(ξ)=np==.
(3)ξ～B(n,p),
P(ξ=1)=p(1-p)²=3p³-6p²+3p,0<p<1,
令f(p)=3p³-6p²+3p,由f'(p)=9p²-12p+3=0,
得p=;
当p=时f(p)有最大值.
由p==,解得n=20.
所以当n=20时,3次摸奖恰有1次中奖的概率最大.