Question

已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0）时，（t为常数）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当t∈[2，6]时，求f（x）在[-2，0]上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f（x）在[0，2]上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当t≥9时，证明：函数y=f（x）的图象上至少有一个点落在直线y=14上．

Answer 1

解：（1）x∈（0，2]时，-x∈[-2，0），则，
∵函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，即f（-x）=-f（x），
∴，即，又可知f（0）=0，
∴函数f（x）的解析式为，x∈[-2，2]；
（2），∵t∈[2，6]，x∈[-2，0]，∴，f（x）＜0
∵，∴，
即时，．
猜想f（x）在[0，2]上的单调递增区间为．
（3）t≥9时，任取-2≤x₁＜x₂≤2，
∵，
∴f（x）在[-2，2]上单调递增，即f（x）∈[f（-2），f（2）]，
即f（x）∈[4-2t，2t-4]，t≥9，∴4-2t≤-14，2t-4≥14，
∴14∈[4-2t，2t-4]，∴当t≥9时，函数y=f（x）的图象上至少有一个点落在直线y=14上．
分析：（1）设x∈（0，2]?-x∈[-2，0）?，由f（x）为奇函数可得f（-x）=-f（x），代入可求f（x）x∈（0，2]；
由奇函数的性质可知f（0）=0，从而可得f（x） x∈[-2，2]
（2）由知＜0，x∈[-2，0]，t∈[2，6]
利用平均值不等式可得，（当时取等号）
（3）利用单调性的定义（或导数法）判断函数在[-2，2]上单调性，从而确定函数的值域，然后证明14在值域内即可
点评：本题综合考查函数的解析式的求解、利用均值不等式求函数的最值、及利用定义或导数法判断函数的单调性，在利用均值不等式求最值时，要注意验证各项的符号及等号成立的条件．