题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的离心率为
，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线MA交直线l：x=9于G点，直线MB交直线l于H点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试探求以GH为直径的圆是否恒经过x轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）试探求以GH为直径的圆是否恒经过x轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
分析：（1）根据椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的离心率为
，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，建立方程组，求出几何量，从而可得椭圆C的方程；
（2）记直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，设M，A，B的坐标分别为M（x0，y0），确定k1•k2=-
，进一步确定以GH为直径的圆的方程，令y=0，可得定点的坐标．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 3 |
（2）记直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，设M，A，B的坐标分别为M（x0，y0），确定k1•k2=-
| 8 |
| 9 |
解答：解：（1）由题意得
，∴
，∴b2=a2-c2=8．
∴椭圆C的方程为：
+
=1．…（4分）
（2）记直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，设M，A，B的坐标分别为M（x0，y0），A（-3，0），B（3，0），
∴k1=
，k2=
，∴k1k2=
．
∵P在椭圆上，∴
+
=1，∴
=8(1-
)，∴k1•k2=-
，
设G（9，y1）H（9，y2），则k1=kAM=
，k2=kMB=
．
∴k1k2=
，又k1•k2=-
．∴
=-
，∴y1y2=-64．…（8分）
因为GH的中点为Q(9，
)，|GH|=|y1-y2|，
所以，以GH为直径的圆的方程为：(x-9)2+(y-
)2=
．
令y=0，得（x-9）2=-y1y2=64，
∴x=1，x=17，将两点（17，0），（1，0）代入检验恒成立．
所以，以GH为直径的圆恒过x轴上的定点（17，0），（1，0）．…（12分）
|
|
∴椭圆C的方程为：
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 8 |
（2）记直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，设M，A，B的坐标分别为M（x0，y0），A（-3，0），B（3，0），
∴k1=
| y0 |
| x0+3 |
| y0 |
| x0-3 |
| y02 | ||
|
∵P在椭圆上，∴
| x02 |
| 9 |
| y02 |
| 8 |
| y | 2 0 |
| ||
| 9 |
| 8 |
| 9 |
设G（9，y1）H（9，y2），则k1=kAM=
| y1 |
| 12 |
| y2 |
| 6 |
∴k1k2=
| y1y2 |
| 72 |
| 8 |
| 9 |
| y1y2 |
| 72 |
| 8 |
| 9 |
因为GH的中点为Q(9，
| y1+y2 |
| 2 |
所以，以GH为直径的圆的方程为：(x-9)2+(y-
| y1+y2 |
| 2 |
| (y1-y2)2 |
| 4 |
令y=0，得（x-9）2=-y1y2=64，
∴x=1，x=17，将两点（17，0），（1，0）代入检验恒成立．
所以，以GH为直径的圆恒过x轴上的定点（17，0），（1，0）．…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查圆的方程的确定，综合性强，属于中档题．
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