题目内容
【题目】已知函数
(1)当时,求
在
处的切线方程;
(2)若函数在
上单调递减,求实数
的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】分析:(1)当时,
。由
可求切点的纵坐标为
。切线的斜率即为该点出的导函数值,故求导函数,进而求导函数值,可得斜率
。利用直线的点斜式方程可写出
在
处的切线方程为
,化简可得
。 (2)由函数
在
上单调递减,可得
在
上恒成立。故先求
。所以
在
上恒成立。利用分离变量法可得
在
上恒成立。构造函数
。
求其导函数,利用导函数的正负判断函数在区间
上的单调性,进而求其最小值
。故
。
详解:(1)
在
处的切线方程为
,即
(2)
在
上单调递减
在
上恒成立即
在
上恒成立记
恒成立,且显然
不是常数函数.
在
上单调递减
实数
的取值范围是
.
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