Question

（本小题满分13分）
如图,在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中, , , , ,点是的中点.

(Ⅰ) 求证:∥平面；
(Ⅱ)求AC₁与平面CC₁B₁B所成的角．

Answer 1

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) AC₁与平面CC₁B₁B所成的角为60^O。

试题分析：（1）设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，根据D是AB的中点，E是BC₁的中点，可知DE∥AC₁，而DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，根据线面平行的判定定理可知AC₁∥平面CDB₁；（2）结合三棱柱的性质可知∠AC₁C为AC₁与平面CC₁B₁B所成的角。
证明:   (Ⅰ) 令BC₁与CB₁的交点为E, 连结DE.
∵  D是AB的中点, E为BC₁的中点, ∴DE∥AC₁
∵ AC₁平面CDB₁, DE平面CDB₁,
∴AC₁∥平面CDB₁.   ………………6分
(Ⅱ) ∵ 三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱,
∴  C₁C⊥平面ABC, ∴C₁C⊥AC,
∵  AC="3," BC="4," AB=5,
∴ ,  ∴ ,
∴ AC⊥平面CC₁B₁B,
∴ ∠AC₁C为AC₁与平面CC₁B₁B所成的角
∵，
根据平面几何知识得：∠AC₁C=60^O
∴AC₁与平面CC₁B₁B所成的角为60^O………13分
点评：解决该试题的关键是对于三棱柱性质的熟练运用和线面平行的判定定理的准确的运用和求解。