Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）的坐标满足（t为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线l的极坐标方程为ρsin（θ+φ）＝cosφ（其中φ为常数，且φ）

（1）求动点P的轨迹C的极坐标方程；

（2）设直线l与轨迹C的交点为A，B，两点，求证：当φ变化时，∠AOB的大小恒为定值．

Answer 1

【答案】（1）ρ（2）证明见解析

【解析】

（1）将动点P（x，y）的参数方程化简为普通方程，再转化为极坐标方程得到答案。

（2）将直线l与曲线C联立，消去ρ得sin（θ+φ）＝cosφ，化简得到tan2θ+tanφtanθ﹣1＝0，利用韦达定理计算得到答案。

（1）∵动点P（x，y）的坐标满足（t为参数），

∴动点P的轨迹C的普通方程为y＝x2，又由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴为sinθ＝ρcos2θ

∴动点P的轨迹C的极坐标方程为sinθ＝ρcos2θ，即ρ．

（2）证明：将直线l与曲线C联立，消去ρ得sin（θ+φ）＝cosφ，

∴得（sinθcosφ+cosθsinφ）＝cosφ，∵φ，∴cosφ≠0，

∴tan2θ+tanφtanθ﹣1＝0，

设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2），由韦达定理得tanθ1tanθ2＝﹣1，即sinθ1sinθ2＝﹣cosθ1cosθ2，

∴cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2＝cos（θ1﹣θ2）＝0，

∴θ1﹣θ2＝kπ，k∈Z

故当φ变化时，∠AOB的大小恒为定值．